Bestimmung von linearen Funktionstermen
Bestimmung des Funktionsterms anhand eines Punktes und der Steigung
Beispiel:
Der Graph einer linearen Funktion (f) enthält den Punkt (P(4| 8)) und hat die Steigung (3).
Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Methode 1: Mit der allgemeinen Form
Schrittfolge:
1. Ansatz: (f(x)=mx+t)
2. (m) einsetzen
3. Koordinaten von (P(x|y) ) einsetzen
Im Beispiel:
(f(x)=mx+t)
(m = 3) einsetzten: (f(x)=3x+t)
Koordinaten von (P(4| 8)) einsetzen:
(8=3 cdot 4+t quadRightarrowquad t = -4)
( quadRightarrowquad f(x)=3x-4)
Methode 2: Mit der Punkt-Steigungs-Form
Durch den Ansatz mit der Punkt-Steigungs-Form wird das Aufstellen des Funktionsterms besonders einfach.
Die gegebene Steigung und die Koordinaten des Punktes müssen hier einfach nur eingesetzt werden.
Schrittfolge:
1. Ansatz: (f(x)=m(x-x_0)+y_0)
2. (m) einsetzen
3. Koordinaten von (P(x_0| y_0) ) einsetzen
Im Beispiel:
(f(x)=m(x-x_0)+y_0)
(m = 3) einsetzen: (f(x)=3(x-x_0)+y_0)
Koordinaten von (P(4|8)) einsetzen:
(f(x)=3(x-4)+8 =3x-4)
Übung 1
Bestimmung des Funktionsterms anhand von zwei Punkten
Beispiel:
Der Graph einer linearen Funktion (f) geht durch die Punkte (P(-2| 10)) und (Q(4| -5)).
Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm.
Methode 1: Mit der allgemeinen Form
Schrittfolge:
1. Ansatz: (f(x)=mx+t)
2. (m = frac ) berechnen und einsetzen
3. z. B. Koordinaten von (P(x| y) ) einsetzen
Im Beispiel:
(f(x)=mx+t)
(m = frac = frac = frac =-2,5)
(f(x)=-2,5x+t)
Koordinaten von (P(-2| 10)) einsetzen:
(10=-2,5 cdot (-2) +t quadRightarrowquad t = 5)
( quadRightarrowquad f(x)=-2,5x+5)
Methode 2: Mit der Punkt-Steigungs-Form
Schrittfolge:
1. Ansatz: (f(x)=m(x-x_0)+y_0)
2. (m = frac = frac ) berechnen und einsetzen
3. z. B. Koordinaten von (P(x_0| y_0) ) einsetzen
Im Beispiel:
(f(x)=m(x-x_0)+y_0)
(m = frac = frac = frac =-2,5)
(f(x)=-2,5(x-x_0)+y_0)
Koordinaten von (P(-2| 10)) einsetzen:
(f(x)=-2,5 (x-(-2))+10 =-2,5 (x+2)+10)
( quadRightarrowquad f(x)=-2,5x+5)
Übung 2
Funktionsterm anhand eines vorgegebenen Graphen bestimmen
Beispiel:
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Geraden.
Schrittfolge:
1. Ansatz: (f(x)=mx+t)
2. Steigung m:
Ermittlung mit einem Steigungsdreieck.
3. y-Achsenabschnitt t:
Direktes Ablesen am Graphen.
Im Beispiel:
(f(x)=mx+t)
(m=frac =frac=2)
(t = 1)
(Rightarrow f(x)=2x+1)
Interaktive Übung
Auftrag:
Ermitteln Sie den passenden Funktionsterm zur dargestellten Gerade.
Hinweise zum Applet:
- Dieses Applet erzeugt zufällig Graphen von linearen Funktionen.
- Der y-Wert eines Punktes P auf der Geraden wird exakt angezeigt. Der Punkt P kann auf der Geraden verschoben werden.
- Für die Berechnung des konstanten Vorfaktors kann optional eine Eingabezeile eingeblendet werden (dazu bitte ein Häkchen bei “Nebenrechnung” setzen).
- Die Lösungsschaltfläche wird nur angezeigt, wenn die Eingabe für Nebenrechnungen ausgeschaltet wird.
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