Mathematik – Lagebeziehung zweier Geraden

Überlegungen:

• Um die Schnittmenge von 2 Geraden im 3-Dimensionalen zu ermitteln, kann man überprüfen, ob es Punkte gibt, die auf beiden Geraden gleichzeitig liegen.

• Die Punkte  \(X\), die auf einer Geraden liegen, können durch ihre Ortvektoren  \(\overrightarrow{OX}\)  beschrieben werden.

• Diese Ortvektoren  \(\overrightarrow{OX}\)  wiederum können mithilfe der vektorielle Gleichungen beider Geraden beschrieben werden.
  Für die Punkte auf \(g\mbox{: }\ \color{red}{\overrightarrow{OX_g}} = \color{red}{\overrightarrow{OA} + k\cdot \overrightarrow{p}}, \ \ k\in {\sf I\!R}\)
  Für die Punkte auf \(h\mbox{: }\ \color{forestgreen}{\overrightarrow{OX_h}} =\color{forestgreen}{\overrightarrow{OB} + \ell\cdot \overrightarrow{q}}, \ \ \ell\in {\sf I\!R}\)

• Ausführlicher:  \(g\mbox{: }\ \color{red}{\small\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}} = \color{red}{{\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}} + k\cdot {\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}}}, \ \ k\in {\sf I\!R}\)
  \(\phantom{ausfuhrlic:}\)  \(h\mbox{: }\ \color{forestgreen}{\small\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}} = \color{forestgreen}{{\small\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}} + \ell\cdot {\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}}, \ \ \ell\in {\sf I\!R}\)

Folgerung:

Wenn es einen Punkt  \(X\)  gibt, der auf beiden Geraden gleichzeitig liegt, wird sein Ortvektor  \(\overrightarrow{OX}\)  sowohl von der einen, als auch von der anderen vektoriellen Geradengleichung beschrieben.

Man darf also die rechten Seiten der beiden vektoriellen Geradengleichungen gleichsetzen:

\(\color{red}{\overrightarrow{OX_g}} = \color{forestgreen}{\overrightarrow{OX_h}}\)

\(\Rightarrow\quad\color{red}{\overrightarrow{OA} + k\cdot \overrightarrow{p}}\) \(= \color{forestgreen}{\overrightarrow{OB} + \ell\cdot \overrightarrow{q}}\)

\(\Rightarrow\quad\color{red}{{\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}} + k\cdot {\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}}} = \color{forestgreen}{{\small\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}} + \ell\cdot {\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}}\)

\(\Rightarrow\quad\color{red}{ k\cdot {\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}}} – \color{forestgreen}{\ell\cdot {\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}} = \color{forestgreen}{\small\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}} – \color{red}{\small\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}}\)

Man erhält ein Gleichungssystem mit den Variablen  \(k\)  und  \(\ell\), deren Lösungsmenge alle Werte für  \(k\)  und  \(\ell\)  beinhaltet, für die die zugehörigen Ortvektoren  \(\overrightarrow{OX}\)  in den Geradengleichungen auf die gemeinsamen Punkte  \(X\)  zeigen.

Die Darstellung des Gleichungssystems in Matrix-Form ist deutlich kompakter:

\(\left(\begin{array}{rr|r} p_1 & -q_1  & b_1 – a_1 \\  p_2 & -q_2 & b_2 – a_2\\ p_3 & -q_3  & b_3 – a_3\end{array}\right)\)

Auswertung:

Nachdem man das Gleichungssystem auf Zeilen-Stufen-Form gebracht hat, kann folgendes passieren:

Sonderfall: Leere Schnittmenge

Falls die Schnittmenge leer ist, können beide Geraden echt parallel oder windschief sein. Um herauszufinden, welche der beiden Situationen vorliegt, müssen wir zusätzlich untersuchen, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear unabhängig sind oder nicht.

Das heißt: Wir untersuchen, ob der Richtungsvektor von  \(g\)  ein Vielfaches des Richtungsvektors von  \(h\)  ist. Wir untersuchen dazu, ob es einen eindeutigen Wert für  \(\lambda\)  gibt, so dass  \(\color{red}{\overrightarrow{p}} = \lambda \cdot \color{forestgreen}{\overrightarrow{q}}\)  ist:

\(\color{red}{\small\begin{pmatrix} p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}} = \lambda \cdot \color{forestgreen}{\small\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}}\)  \(\quad\Leftrightarrow\quad \left\{\ \  {\small\begin{array}{l} \color{red}{p_1} = \lambda \cdot \color{forestgreen}{q_1} \\ \color{red}{p_2} = \lambda \cdot \color{forestgreen}{q_2} \\\color{red}{p_3} = \lambda \cdot \color{forestgreen}{q_3} \end{array} }\right.\)

Nur, wenn in allen 3 Zeilen der gleiche Wert für  \(\lambda\)  herauskommt, sind die beiden Richtungsvektoren linear abhängig und somit die beiden Geraden echt parallel. Andernfalls sind die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig und die beiden Geraden müssen windschief sein.

Achtung:

Wer sich bereits mit dem Kapitel “Lagebeziehung zweier Ebenen” beschäftigt hat, könnte fälschlicherweise annehmen, dass man auch bei der Untersuchung Lagebeziehung zweier Geraden unterschiedliche Formen der Geradengleichung verwenden könnte. Es gibt aber im 3-Dimensionalen wirklich nur die vektorielle Darstellung von Geradengleichungen.