Bestimmung von linearen Funktionstermen

Bestimmung des Funktionsterms anhand eines Punktes und der Steigung

Beispiel:
Der Graph einer linearen Funktion $f$ enthält den Punkt $P(4| 8)$ und hat die Steigung $3$ .
Bestimmen Sie den Funktionsterm.

Methode 1: Mit der allgemeinen Form

Schrittfolge:

1. Ansatz: $f(x)=mx+t$

2. $m$ einsetzen

3. Koordinaten von $P(x|y)$ einsetzen

Im Beispiel:

$f(x)=mx+t$

$m = 3$ einsetzten: $f(x)=3x+t$

Koordinaten von $P(4| 8)$ einsetzen:

$8=3 \cdot 4+t \quad\Rightarrow\quad t = -4$

$\quad\Rightarrow\quad f(x)=3x-4$

Methode 2: Mit der Punkt-Steigungs-Form

Durch den Ansatz mit der Punkt-Steigungs-Form wird das Aufstellen des Funktionsterms besonders einfach.
Die gegebene Steigung und die Koordinaten des Punktes müssen hier einfach nur eingesetzt werden.

Schrittfolge:

1. Ansatz: $f(x)=m(x-x_0)+y_0$

2. $m$ einsetzen

3. Koordinaten von $P(x_0| y_0)$ einsetzen

Im Beispiel:

$f(x)=m(x-x_0)+y_0$

$m = 3$ einsetzen: $f(x)=3(x-x_0)+y_0$

Koordinaten von $P(4|8)$ einsetzen:
$f(x)=3(x-4)+8 =3x-4$

Übung 1

Bestimmung des Funktionsterms anhand von zwei Punkten

Beispiel:
Der Graph einer linearen Funktion $f$ geht durch die Punkte $P(-2| 10)$ und $Q(4| -5)$ .
Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm.

Methode 1: Mit der allgemeinen Form

Schrittfolge:

1. Ansatz: $f(x)=mx+t$

2. $m = \frac {\Delta {y}}{\Delta{x}}$ berechnen und einsetzen

3. z. B. Koordinaten von $P(x| y)$ einsetzen

Im Beispiel:

$f(x)=mx+t$

$m = \frac {{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}}= \frac {-5-10}{4-(-2)}= \frac {-15}{6}=-2,5$

$f(x)=-2,5x+t$

Koordinaten von $P(-2| 10)$ einsetzen:

$10=-2,5 \cdot (-2) +t \quad\Rightarrow\quad t = 5$

$\quad\Rightarrow\quad f(x)=-2,5x+5$

Methode 2: Mit der Punkt-Steigungs-Form

Schrittfolge:

1. Ansatz: $f(x)=m(x-x_0)+y_0$

2. $m = \frac {\Delta {y}}{\Delta{x}} = \frac {{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}}$ berechnen und einsetzen

3. z. B. Koordinaten von $P(x_0| y_0)$ einsetzen

Im Beispiel:

$f(x)=m(x-x_0)+y_0$

$m = \frac {{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}} = \frac {-5-10}{4-(-2)}= \frac {-15}{6}=-2,5$

$f(x)=-2,5(x-x_0)+y_0$

Koordinaten von $P(-2| 10)$ einsetzen:

$f(x)=-2,5 (x-(-2))+10 =-2,5 (x+2)+10$

$\quad\Rightarrow\quad f(x)=-2,5x+5$

Übung 2

Lösung

a)	$m= \frac {5-3}{6-2} =\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
	$(2;3)$ in $y=\frac {1} {2} x+t$ einsetzen: $3=\frac {1}{2} \cdot 2+t \rightarrow t=2$ $y= \frac {1} {2} x+2$
b)	$m= \frac {3-3}{4-(-2)} =\frac{0}{6}=0$
	$(-2;3)$ in $y=0 x +t$ einsetzen: $3=0 \cdot (-2) +t \rightarrow t=3$ $y=3$
c)	$m= \frac {4-(-2)}{-2-2} =\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$
	$(2;-2)$ in $y=-\frac {3} {2} x+t$ einsetzen: $-2=-\frac {3}{2} \cdot 2+t \rightarrow t=1$ $y=- \frac {3} {2} x+1$

Funktionsterm anhand eines vorgegebenen Graphen bestimmen

Beispiel:
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Geraden.

Bestimmung des Funktionsterms anhand eines Punktes und der Steigung

Schrittfolge:

1. Ansatz: $f(x)=mx+t$

2. Steigung m:
Ermittlung mit einem Steigungsdreieck.

3. y-Achsenabschnitt t:
Direktes Ablesen am Graphen.

Im Beispiel:

$f(x)=mx+t$

$m=\frac{ \Delta {y}}{ \Delta {x}} =\frac{ 2}{1}=2$

$t = 1$

$\Rightarrow f(x)=2x+1$

Interaktive Übung

Auftrag:
Ermitteln Sie den passenden Funktionsterm zur dargestellten Gerade.

Hinweise zum Applet:

Dieses Applet erzeugt zufällig Graphen von linearen Funktionen.
Der y-Wert eines Punktes P auf der Geraden wird exakt angezeigt. Der Punkt P kann auf der Geraden verschoben werden.
Für die Berechnung des konstanten Vorfaktors kann optional eine Eingabezeile eingeblendet werden (dazu bitte ein Häkchen bei “Nebenrechnung” setzen).
Die Lösungsschaltfläche wird nur angezeigt, wenn die Eingabe für Nebenrechnungen ausgeschaltet wird.

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